それでは、sin 107° = 0.956304…を算出するやり方について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求める方法を解説していきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin107°の計算の仕方解説です。
$$\sin 107°=0.956304…$$
sin 107° を10桁表す
唐突ではありますが、sin 107°を10桁調べてみましょう！$$\sin 107° = 0.9563047559 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin107°の値を計算する
三角関数表を参照せずにsin107°の値を解く手法は大きく3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。
2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でsin107°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 107°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.867502…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 107°\)を求められます。
$$\sin 107° = 0.956304…$$
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