それでは、sin 110° = 0.939692…を算出する手法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求める方法を紹介していきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、sin110°の計算方法説明です。
$$\sin 110°=0.939692…$$
10桁のsin 110°を調べる
早速ですが、sin 110°を10桁書いてみましょう！$$\sin 110° = 0.9396926207 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin110°の値を明らかにする
三角関数表を活用せずにsin110°の値を計算する方法は3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2の方法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でsin110°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 110°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.919862…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 110°\)を求められます。
$$\sin 110° = 0.939692…$$
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