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三角関数表のサインの表におけるsin12°の計算方法

今回は、sin 12° = 0.207911…を求める処理方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求める方法を解説していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin12°の計算の仕方紹介です。

$$\sin 12°=0.207911…$$

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sin 12° を10桁調べる

最初に、sin 12°を10桁確認してみましょう!$$\sin 12° = 0.2079116908 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin12°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにsin12°の値を算出するやり方は3つあります。

  1. 分度器を使って12°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin12°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 12°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.209439…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 12°\)を求められます。

$$\sin 12° = 0.207911…$$

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