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三角関数表のサインの表におけるsin128°|マクローリン展開で解く

本解説では、sin 128° = 0.78801…を求めるやり方について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin128°の計算の仕方解説です。

$$\sin 128°=0.78801…$$

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10桁のsin 128°を確認

早速ですが、sin 128°を10桁書いてみましょう!$$\sin 128° = 0.7880107536 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin128°の値を計算する

三角関数表を確認せずにsin128°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して128°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin128°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 128°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.234021…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 128°\)を求められます。

$$\sin 128° = 0.78801…$$

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