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三角関数表のサインの表におけるsin132°を求める方法

本解説では、sin 132° = 0.743144…を三角関数表を使わずに求める方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算方法を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin132°の算出方法説明です。

$$\sin 132°=0.743144…$$

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sin 132°を10桁書いてみる

初めに、sin 132°を10桁表してみましょう!$$\sin 132° = 0.7431448254 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin132°の値を解く

三角関数表を確認せずにsin132°の値を計算するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って132°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin132°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 132°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.303834…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 132°\)を求められます。

$$\sin 132° = 0.743144…$$

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