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三角関数表のサインの表におけるsin135°を求める方法

本解説では、sin 135° = 0.707106…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求める方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、sin135°の算出方法解説です。

$$\sin 135°=0.707106…$$

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sin 135° を10桁調べる

初めに、sin 135°を10桁調べてみましょう!$$\sin 135° = 0.7071067811 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin135°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin135°の値を計算する方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して135°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin135°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 135°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.356194…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 135°\)を求められます。

$$\sin 135° = 0.707106…$$

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