三角関数表のサインの表におけるsin138°の導出

それでは、sin 138° = 0.66913…を三角関数表を使わずに求める手法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin138°の計算の仕方紹介です。

$$\sin 138°=0.66913…$$

10位までsin 138°を表す

最初に、sin 138°を10桁書いてみましょう！$$\sin 138° = 0.6691306063 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin138°の値を算出する

三角関数表を使わずにsin138°の値を解く方法は3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin138°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 138°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.408554…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 138°\)を求められます。

$$\sin 138° = 0.66913…$$