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三角関数表のサインの表におけるsin14°|マクローリン展開で解く

本解説では、sin 14° = 0.241921…を算出する仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin14°の求める方法説明です。

$$\sin 14°=0.241921…$$

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sin 14°を10桁調べる

最初に、sin 14°を10桁確認してみましょう!$$\sin 14° = 0.2419218955 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin14°の値を求める

三角関数表を確認せずにsin14°の値を解く方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って14°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin14°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 14°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.244346…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 14°\)を求められます。

$$\sin 14° = 0.241921…$$

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