三角関数表のサインの表におけるsin140°の求め方

このページでは、sin 140° = 0.642787…を三角関数表を使わずに求める方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の算出方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin140°の求め方説明です。

$$\sin 140°=0.642787…$$

sin 140°を10桁表す

唐突ではありますが、sin 140°を10桁確認してみましょう！$$\sin 140° = 0.6427876096 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使用せずにsin140°の値を算出する手法は3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\sin x$を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$を使うと$\sin x$の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 140°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.44346…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 140°$を求められます。

$$\sin 140° = 0.642787…$$