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三角関数表のサインの表におけるsin142°を導出する

それでは、sin 142° = 0.615661…を電卓で計算する方法について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算の仕方を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、sin142°の計算方法解説です。

$$\sin 142°=0.615661…$$

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10桁のsin 142°を確認

最初に、sin 142°を10桁書いてみましょう!$$\sin 142° = 0.6156614753 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin142°の値を算出する

三角関数表を確認せずにsin142°の値を算出する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して142°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin142°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 142°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.478367…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 142°\)を求められます。

$$\sin 142° = 0.615661…$$

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