本解説では、sin 149° = 0.515038…を算出する処理方法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の算出方法を明らかにしていきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin149°の算出方法説明です。
$$\sin 149°=0.515038…$$
sin 149°を10桁表す
唐突ではありますが、sin 149°を10桁書いてみましょう！$$\sin 149° = 0.5150380749 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin149°の値を計算する
三角関数表を使用せずにsin149°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。
2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。
マクローリン展開でsin149°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 149°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.60054…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 149°\)を求められます。
$$\sin 149° = 0.515038…$$
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