三角関数表のサインの表におけるsin156°を導出する

この記事では、sin 156° = 0.406736…を求める仕方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin156°の算出方法紹介です。

$$\sin 156°=0.406736…$$

10桁のsin 156°を調べる

まずは、sin 156°を10桁表してみましょう！$$\sin 156° = 0.406736643 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin156°の値を明らかにする

三角関数表を活用せずにsin156°の値を計算するやり方は大きく3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin156°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 156°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.722713…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 156°\)を求められます。

$$\sin 156° = 0.406736…$$