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三角関数表のサインの表におけるsin16°を簡単導出!

それでは、sin 16° = 0.275637…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin16°の計算の仕方説明です。

$$\sin 16°=0.275637…$$

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sin 16°を10桁調べる

早速ですが、sin 16°を10桁調べてみましょう!$$\sin 16° = 0.2756373558 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin16°の値を計算する

三角関数表を活用せずにsin16°の値を計算するやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器用いて16°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の手法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin16°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 16°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.279252…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 16°\)を求められます。

$$\sin 16° = 0.275637…$$

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