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三角関数表のサインの表におけるsin173°を簡単導出!

今回は、sin 173° = 0.121869…を算出する方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、sin173°の計算の仕方解説です。

$$\sin 173°=0.121869…$$

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10桁のsin 173°を書いてみる

唐突ではありますが、sin 173°を10桁表してみましょう!$$\sin 173° = 0.1218693434 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin173°の値を算出する

三角関数表を使用せずにsin173°の値を算出する方法は3つあります。

  1. 分度器を使用して173°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin173°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 173°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.019419…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 173°\)を求められます。

$$\sin 173° = 0.121869…$$

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