三角関数表のサインの表におけるsin174°を解く

本解説では、sin 174° = 0.104528…を算出する方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求める方法を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、sin174°の算出方法説明です。

$$\sin 174°=0.104528…$$

10位までsin 174°を書いてみる

最初に、sin 174°を10桁表してみましょう！$$\sin 174° = 0.1045284632 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin174°の値を明らかにする

三角関数表を確認せずにsin174°の値を算出するやり方は3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin174°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 174°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.036872…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 174°\)を求められます。

$$\sin 174° = 0.104528…$$