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三角関数表のサインの表におけるsin175°を導出する

この記事では、sin 175° = 0.087155…を算出する処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin175°の計算の仕方紹介です。

$$\sin 175°=0.087155…$$

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sin 175°を10桁確認

最初に、sin 175°を10桁確認してみましょう!$$\sin 175° = 0.0871557427 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin175°の値を解く

三角関数表を確認せずにsin175°の値を算出する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使って175°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でsin175°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 175°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.054326…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 175°\)を求められます。

$$\sin 175° = 0.087155…$$

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