三角関数表のサインの表におけるsin177°の求め方

それでは、sin 177° = 0.052335…を算出する仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算の仕方を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、sin177°の算出方法説明です。

$$\sin 177°=0.052335…$$

sin 177°を10桁表す

早速ですが、sin 177°を10桁表してみましょう！$$\sin 177° = 0.0523359562 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin177°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin177°の値を計算する手法は大きく3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin177°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 177°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.089232…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 177°\)を求められます。

$$\sin 177° = 0.052335…$$