三角関数表のサインの表におけるsin178°を導出する

本解説では、sin 178° = 0.034899…を電卓で計算するやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin178°の求める方法紹介です。

$$\sin 178°=0.034899…$$

10位までsin 178°を書いてみる

初めに、sin 178°を10桁調べてみましょう！$$\sin 178° = 0.0348994967 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin178°の値を求める

三角関数表を使わずにsin178°の値を計算するやり方は大きく3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin178°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 178°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.106686…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 178°\)を求められます。

$$\sin 178° = 0.034899…$$