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三角関数表のサインの表におけるsin187°の導出

本解説では、sin 187° = -0.12187…を電卓で計算する仕方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin187°の求める方法紹介です。

$$\sin 187°=-0.12187…$$

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10桁のsin 187°を確認

最初に、sin 187°を10桁表してみましょう!$$\sin 187° = -0.1218693435 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin187°の値を計算する

三角関数表を確認せずにsin187°の値を解くやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して187°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin187°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 187°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.263765…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 187°\)を求められます。

$$\sin 187° = -0.12187…$$

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