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三角関数表のサインの表におけるsin193°の解き方

今回は、sin 193° = -0.224952…を電卓で計算する方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、sin193°の計算方法解説です。

$$\sin 193°=-0.224952…$$

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10位までsin 193°を書いてみる

最初に、sin 193°を10桁確認してみましょう!$$\sin 193° = -0.2249510544 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin193°の値を計算する

三角関数表を使用せずにsin193°の値を求めるやり方は3つあります。

  1. 分度器用いて193°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin193°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 193°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.368485…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 193°\)を求められます。

$$\sin 193° = -0.224952…$$

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