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三角関数表のサインの表におけるsin20°を解く

本解説では、sin 20° = 0.34202…を電卓で計算する手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求め方を解説していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、sin20°の求め方説明です。

$$\sin 20°=0.34202…$$

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10位までsin 20°を表す

唐突ではありますが、sin 20°を10桁確認してみましょう!$$\sin 20° = 0.3420201433 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin20°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにsin20°の値を求める手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器用いて20°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin20°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 20°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.349065…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 20°\)を求められます。

$$\sin 20° = 0.34202…$$

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