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三角関数表のサインの表におけるsin200°を導出する

このページでは、sin 200° = -0.342021…を三角関数表を使わずに求める処理方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、sin200°の算出方法説明です。

$$\sin 200°=-0.342021…$$

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10桁のsin 200°を調べる

初めに、sin 200°を10桁調べてみましょう!$$\sin 200° = -0.3420201434 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin200°の値を計算する

三角関数表を使用せずにsin200°の値を計算する手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して200°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin200°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 200°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.490658…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 200°\)を求められます。

$$\sin 200° = -0.342021…$$

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