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三角関数表のサインの表におけるsin201°を解く

このページでは、sin 201° = -0.358368…を算出する仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求める方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin201°の算出方法解説です。

$$\sin 201°=-0.358368…$$

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10桁のsin 201°を調べる

早速ですが、sin 201°を10桁調べてみましょう!$$\sin 201° = -0.3583679496 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin201°の値を算出する

三角関数表を使わずにsin201°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って201°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin201°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 201°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.508111…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 201°\)を求められます。

$$\sin 201° = -0.358368…$$

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