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三角関数表のサインの表におけるsin202°を簡単導出!

今回は、sin 202° = -0.374607…を算出する方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin202°の計算方法解説です。

$$\sin 202°=-0.374607…$$

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10桁のsin 202°を確認

唐突ではありますが、sin 202°を10桁書いてみましょう!$$\sin 202° = -0.3746065935 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin202°の値を計算する

三角関数表を活用せずにsin202°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して202°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin202°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 202°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.525565…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 202°\)を求められます。

$$\sin 202° = -0.374607…$$

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