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三角関数表のサインの表におけるsin206°を簡単導出!

本解説では、sin 206° = -0.438372…を求める方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算方法を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin206°の求める方法解説です。

$$\sin 206°=-0.438372…$$

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sin 206° を10桁表す

早速ですが、sin 206°を10桁確認してみましょう!$$\sin 206° = -0.4383711468 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin206°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin206°の値を求める手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して206°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin206°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 206°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.595378…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 206°\)を求められます。

$$\sin 206° = -0.438372…$$

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