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三角関数表のサインの表におけるsin207°を解く

本解説では、sin 207° = -0.453991…を求める手法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求め方を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、sin207°の計算方法解説です。

$$\sin 207°=-0.453991…$$

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10桁のsin 207°を確認

初めに、sin 207°を10桁表してみましょう!$$\sin 207° = -0.4539904998 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin207°の値を解く

三角関数表を使わずにsin207°の値を求めるやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して207°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でsin207°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 207°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.612831…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 207°\)を求められます。

$$\sin 207° = -0.453991…$$

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