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三角関数表のサインの表におけるsin208°を解く

本解説では、sin 208° = -0.469472…を算出する処理方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求める方法を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin208°の算出方法解説です。

$$\sin 208°=-0.469472…$$

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sin 208° を10桁確認

まずは、sin 208°を10桁書いてみましょう!$$\sin 208° = -0.4694715628 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin208°の値を求める

三角関数表を活用せずにsin208°の値を求める方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して208°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin208°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 208°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.630284…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 208°\)を求められます。

$$\sin 208° = -0.469472…$$

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