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三角関数表のサインの表におけるsin209°を求める方法

本解説では、sin 209° = -0.48481…を算出する方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求め方を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin209°の計算の仕方紹介です。

$$\sin 209°=-0.48481…$$

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sin 209° を10桁表す

初めに、sin 209°を10桁確認してみましょう!$$\sin 209° = -0.4848096203 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin209°の値を解く

三角関数表を使わずにsin209°の値を求めるやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器用いて209°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin209°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 209°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.647738…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 209°\)を求められます。

$$\sin 209° = -0.48481…$$

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