三角関数表のサインの表におけるsin21°の導出

今回は、sin 21° = 0.358367…を計算する仕方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求め方を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin21°の算出方法紹介です。

$$\sin 21°=0.358367…$$

sin 21°を10桁調べる

まずは、sin 21°を10桁確認してみましょう！$$\sin 21° = 0.3583679495 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin21°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin21°の値を計算するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin21°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 21°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.366519…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 21°\)を求められます。

$$\sin 21° = 0.358367…$$