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三角関数表のサインの表におけるsin210°を求める方法

本解説では、sin 210° = -0.500001…を求める方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求め方を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin210°の求める方法解説です。

$$\sin 210°=-0.500001…$$

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sin 210° を10桁確認

初めに、sin 210°を10桁調べてみましょう!$$\sin 210° = -0.5000000001 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin210°の値を計算する

三角関数表を活用せずにsin210°の値を計算するやり方は3つあります。

  1. 分度器を使って210°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でsin210°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 210°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.665191…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 210°\)を求められます。

$$\sin 210° = -0.500001…$$

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