本解説では、sin 225° = -0.707107…を三角関数表を使わずに求める処理方法について説明します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を紹介していきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin225°の求め方紹介です。
$$\sin 225°=-0.707107…$$
sin 225° を10桁調べる
早速ですが、sin 225°を10桁確認してみましょう！$$\sin 225° = -0.7071067812 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin225°の値を算出する
三角関数表を参照せずにsin225°の値を算出する手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。
2の手法だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でsin225°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 225°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.92699…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 225°\)を求められます。
$$\sin 225° = -0.707107…$$
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