三角関数表のサインの表におけるsin25°を導出する

それでは、sin 25° = 0.422618…を計算する処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求める方法を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin25°の算出方法紹介です。

$$\sin 25°=0.422618…$$

sin 25° を10桁調べる

早速ですが、sin 25°を10桁調べてみましょう！$$\sin 25° = 0.4226182617 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin25°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin25°の値を解く方法は大きく3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin25°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 25°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.436332…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 25°\)を求められます。

$$\sin 25° = 0.422618…$$