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三角関数表のサインの表におけるsin264°の導出

それでは、sin 264° = -0.994522…を算出する仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、sin264°の求める方法紹介です。

$$\sin 264°=-0.994522…$$

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10桁のsin 264°を調べる

まずは、sin 264°を10桁表してみましょう!$$\sin 264° = -0.9945218954 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin264°の値を算出する

三角関数表を使わずにsin264°の値を算出するやり方は3つあります。

  1. 分度器用いて264°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin264°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 264°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.607669…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 264°\)を求められます。

$$\sin 264° = -0.994522…$$

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