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三角関数表のサインの表におけるsin265°を求める方法

それでは、sin 265° = -0.996195…を三角関数表を使わずに求める方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin265°の求める方法説明です。

$$\sin 265°=-0.996195…$$

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10位までsin 265°を確認

まずは、sin 265°を10桁書いてみましょう!$$\sin 265° = -0.9961946981 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin265°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin265°の値を算出する手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して265°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin265°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 265°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.625122…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 265°\)を求められます。

$$\sin 265° = -0.996195…$$

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