三角関数表のサインの表におけるsin280°の導出

今回は、sin 280° = -0.984808…を求める仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算方法を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、sin280°の計算の仕方解説です。

$$\sin 280°=-0.984808…$$

10桁のsin 280°を書いてみる

最初に、sin 280°を10桁確認してみましょう！$$\sin 280° = -0.9848077531 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin280°の値を解く

三角関数表を使わずにsin280°の値を算出するやり方は大きく3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin280°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 280°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.886921…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 280°\)を求められます。

$$\sin 280° = -0.984808…$$