三角関数表のサインの表におけるsin30°の解き方

このページでは、sin 30° = 0.499999…を求める手法について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin30°の計算方法解説です。

$$\sin 30°=0.499999…$$

sin 30°を10桁表す

唐突ではありますが、sin 30°を10桁確認してみましょう！$$\sin 30° = 0.4999999999 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin30°の値を算出する

三角関数表を使用せずにsin30°の値を計算する手法は大きく3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin30°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 30°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.523598…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 30°\)を求められます。

$$\sin 30° = 0.499999…$$