三角関数表のサインの表におけるsin31°の計算方法

今回は、sin 31° = 0.515038…を三角関数表を使わずに求める仕方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算方法を解説していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin31°の計算の仕方紹介です。

$$\sin 31°=0.515038…$$

10位までsin 31°を表す

最初に、sin 31°を10桁調べてみましょう！$$\sin 31° = 0.5150380749 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin31°の値を解く

三角関数表を活用せずにsin31°の値を求めるやり方は大きく3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin31°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 31°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.541052…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 31°\)を求められます。

$$\sin 31° = 0.515038…$$