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三角関数表のサインの表におけるsin310°を導出する

このページでは、sin 310° = -0.766045…を三角関数表を使わずに求める仕方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin310°の計算の仕方解説です。

$$\sin 310°=-0.766045…$$

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10桁のsin 310°を調べる

唐突ではありますが、sin 310°を10桁調べてみましょう!$$\sin 310° = -0.7660444432 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin310°の値を求める

三角関数表を使わずにsin310°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して310°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin310°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 310°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.41052…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 310°\)を求められます。

$$\sin 310° = -0.766045…$$

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