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三角関数表のサインの表におけるsin314°の導出

それでは、sin 314° = -0.71934…を電卓で計算する手法について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin314°の計算方法紹介です。

$$\sin 314°=-0.71934…$$

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sin 314° を10桁調べる

最初に、sin 314°を10桁書いてみましょう!$$\sin 314° = -0.7193398004 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin314°の値を算出する

三角関数表を確認せずにsin314°の値を求める方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使って314°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin314°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 314°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.480333…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 314°\)を求められます。

$$\sin 314° = -0.71934…$$

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