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三角関数表のサインの表におけるsin315°の計算方法

今回は、sin 315° = -0.707107…を算出するやり方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求める方法を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin315°の求め方解説です。

$$\sin 315°=-0.707107…$$

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10桁のsin 315°を表す

まずは、sin 315°を10桁確認してみましょう!$$\sin 315° = -0.7071067812 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin315°の値を求める

三角関数表を活用せずにsin315°の値を求める手法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使って315°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin315°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 315°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.497787…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 315°\)を求められます。

$$\sin 315° = -0.707107…$$

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