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三角関数表のサインの表におけるsin317°の計算方法

この記事では、sin 317° = -0.681999…を算出する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin317°の求め方解説です。

$$\sin 317°=-0.681999…$$

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sin 317° を10桁確認

まずは、sin 317°を10桁調べてみましょう!$$\sin 317° = -0.6819983601 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin317°の値を解く

三角関数表を確認せずにsin317°の値を計算する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して317°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin317°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 317°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.532693…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 317°\)を求められます。

$$\sin 317° = -0.681999…$$

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