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三角関数表のサインの表におけるsin319°を簡単導出!

今回は、sin 319° = -0.65606…を電卓で計算するやり方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求め方を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、sin319°の算出方法解説です。

$$\sin 319°=-0.65606…$$

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10位までsin 319°を表す

初めに、sin 319°を10桁確認してみましょう!$$\sin 319° = -0.656059029 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin319°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin319°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器用いて319°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin319°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 319°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.5676…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 319°\)を求められます。

$$\sin 319° = -0.65606…$$

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