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三角関数表のサインの表におけるsin36°の求め方

今回は、sin 36° = 0.587785…を算出するやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin36°の算出方法紹介です。

$$\sin 36°=0.587785…$$

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sin 36°を10桁確認

早速ですが、sin 36°を10桁表してみましょう!$$\sin 36° = 0.5877852522 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin36°の値を解く

三角関数表を活用せずにsin36°の値を算出する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使って36°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin36°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 36°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.628318…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 36°\)を求められます。

$$\sin 36° = 0.587785…$$

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