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三角関数表のサインの表におけるsin41°を解く

このページでは、sin 41° = 0.656059…を算出するやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の求める方法を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin41°の計算の仕方解説です。

$$\sin 41°=0.656059…$$

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sin 41°を10桁表す

唐突ではありますが、sin 41°を10桁確認してみましょう!$$\sin 41° = 0.6560590289 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin41°の値を求める

三角関数表を使わずにsin41°の値を解くやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して41°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin41°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 41°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.715584…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 41°\)を求められます。

$$\sin 41° = 0.656059…$$

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