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三角関数表のサインの表におけるsin43°を求める方法

それでは、sin 43° = 0.681998…を三角関数表を使わずに求める手法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、sin43°の計算方法解説です。

$$\sin 43°=0.681998…$$

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sin 43° を10桁確認

唐突ではありますが、sin 43°を10桁確認してみましょう!$$\sin 43° = 0.68199836 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin43°の値を算出する

三角関数表を参照せずにsin43°の値を求める方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して43°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin43°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 43°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.750491…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 43°\)を求められます。

$$\sin 43° = 0.681998…$$

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