三角関数表のサインの表におけるsin46°を求める方法

本解説では、sin 46° = 0.719339…を求めるやり方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、sin46°の算出方法説明です。

$$\sin 46°=0.719339…$$

10桁のsin 46°を確認

唐突ではありますが、sin 46°を10桁確認してみましょう！$$\sin 46° = 0.7193398003 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin46°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin46°の値を求めるやり方は大きく3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin46°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 46°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.802851…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 46°\)を求められます。

$$\sin 46° = 0.719339…$$