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三角関数表のサインの表におけるsin49°を導出する

この記事では、sin 49° = 0.754709…を求める仕方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、sin49°の計算の仕方紹介です。

$$\sin 49°=0.754709…$$

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10位までsin 49°を書いてみる

初めに、sin 49°を10桁書いてみましょう!$$\sin 49° = 0.7547095802 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin49°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにsin49°の値を計算する手法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して49°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でsin49°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 49°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.855211…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 49°\)を求められます。

$$\sin 49° = 0.754709…$$

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