三角関数表のサインの表におけるsin5°を解く

このページでは、sin 5° = 0.087155…を三角関数表を使わずに求める手法について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、sin5°の計算の仕方説明です。

$$\sin 5°=0.087155…$$

10桁のsin 5°を調べる

早速ですが、sin 5°を10桁表してみましょう！$$\sin 5° = 0.0871557427 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使わずにsin5°の値を解く方法は大きく3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\sin x$を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$によって、$\sin x$の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 5°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.087266…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 5°$を求められます。

$$\sin 5° = 0.087155…$$