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三角関数表のサインの表におけるsin50°の計算方法

この記事では、sin 50° = 0.766044…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin50°の計算方法紹介です。

$$\sin 50°=0.766044…$$

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sin 50° を10桁調べる

初めに、sin 50°を10桁調べてみましょう!$$\sin 50° = 0.7660444431 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin50°の値を解く

三角関数表を活用せずにsin50°の値を計算する方法は大きく3つあります。

  1. 分度器用いて50°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin50°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 50°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.872664…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 50°\)を求められます。

$$\sin 50° = 0.766044…$$

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