三角関数表のサインの表におけるsin51°を導出する

今回は、sin 51° = 0.777145…を算出する処理方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin51°の計算の仕方解説です。

$$\sin 51°=0.777145…$$

10桁のsin 51°を確認

早速ですが、sin 51°を10桁書いてみましょう！$$\sin 51° = 0.7771459614 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin51°の値を算出する

三角関数表を使用せずにsin51°の値を計算するやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin51°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 51°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.890117…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 51°\)を求められます。

$$\sin 51° = 0.777145…$$